Snickers
06-mar-2010, 05:59
yo esto de las mates lo veo tan grande y fascinante q me pierdo en su misticismo :p
Todo empezó en aquel capítulo de Benny Hill en el cual él a si misma se preguntaba
¿Es verdad q las mujeres cuando decís no queréis decir sí? Y se respondía con el (in)confundible NO :D
http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_del_mentiroso
Paradoja del mentiroso
La paradoja del mentiroso es en realidad un conjunto de paradojas relacionadas.[1] El ejemplo más simple de la misma surge al considerar la oración: «Esta oración es falsa». Dado el principio del tercero excluido (http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_del_tercero_excluido), dicha oración debe ser verdadera o falsa. Si suponemos que es verdadera, entonces todo lo que la oración afirma es el caso. Pero la oración afirma que ella misma es falsa, y eso contradice nuestra suposición original de que es verdadera. Supongamos, pues, que la oración es falsa. Luego, lo que afirma debe ser falso. Pero esto significa que es falso que ella misma sea falsa, lo cual vuelve a contradecir nuestra suposición anterior. De este modo, no es posible asignar un valor de verdad (http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_de_verdad) a la oración sin contradecirse.[1]
A través de los siglos, el interés por resolver esta paradoja y sus variantes ha impulsado una enorme cantidad de trabajo en semántica, lógica y filosofía en general.[2]
Comentario [editar]
Esta paradoja muestra que es posible construir oraciones perfectamente correctas según las reglas gramaticales y semánticas pero que pueden no tener un valor de verdad según la lógica tradicional.
Consideremos una de las formas más simples de esta paradoja: “Esta oración es falsa”:
* Si suponemos que esa afirmación es verdadera, entonces lo que dice es verdadero. Ya que la oración afirma que es falsa, entonces debe ser falsa. Por tanto, si suponemos que es verdadera, alcanzamos una contradicción.
* Si suponemos que la oración es falsa, entonces lo que afirma debe ser falso. Ya que afirma que la oración es falsa, entonces la oración debe ser verdadera. De nuevo, si suponemos que es falsa, alcanzamos una contradicción.
La primera versión conocida [editar]
La versión más antigua de la paradoja del mentiroso se atribuye al filósofo griego Eubulides de Mileto (http://es.wikipedia.org/wiki/Eubulides_de_Mileto), que vivió en el siglo IV a. C. Supuestamente Eubulides dijo:
Un hombre afirma que está mintiendo. ¿Lo que dice es verdadero o falso?
Una versión doble [editar]
Es posible construir esta paradoja de modo que una afirmación no se refiera directamente a su propio valor de verdad. Existen de este modo varias versiones equivalentes:
* La más simple: “La oración posterior es cierta” y “La oración anterior es falsa”.
* Una tarjeta, en una de cuyas caras aparece: “Lo que está escrito en la otra cara es cierto” y en la otra: “Lo que está escrito en la otra cara es falso”.
* Un libro, que en la página 23 tiene escrito “Lo que está escrito en la página 24 es cierto” y en la página 24: “Lo que está escrito en la página 23 es falso”.
En realidad se trata de una cuestión de autorreferencia (http://es.wikipedia.org/wiki/Autorreferencia). Ejemplo clásico es el del libro en cuya nota final afirma "todo lo escrito en este libro es falso". Lo cual deja abierta la posibilidad de que aquella última afirmación también lo sea, y en ese caso el resto sería verdadero o, por el contrario, si aquella afirmación fuera verdadera el resto del libro sería falso. Pero como la última afirmación se encuentra dentro del mismo libro la interpretación sobre el alcance de la misma deja a la veracidad del libro librada hacia el infinito. Así, sólo es posible salir del circuito de la autorreferencia tomando como punto de partida un punto de vista apartado del objeto que se valore.
* Paradoja de Epiménides: una paradoja que aparenta ser una versión de la paradoja del mentiroso, pero que realmente no lo es.
_________________________________________
Teoremas de incompletitud de Gödel
Kurt Gödel ([kuɹtˈgøːdl]) (28 de abril de 1906 Brno (Brünn), Imperio austrohúngaro (ahora República Checa) – 14 de enero de 1978 Princeton, New Jersey) fue un lógico, matemático y filósofo austriaco-estadounidense.
Reconocido como uno de los más importantes lógicos de todos los tiempos, el trabajo de Gödel ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Gödel, al igual que otros pensadores como Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática. A Gödel se le conoce mejor por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena.
El más célebre de sus teoremas de la incompletitud establece que para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (la aritmética de Peano), existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada ahora como numeración de Gödel, el cual codifica expresiones formales como números naturales.
También demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, si dichos axiomas son consistentes. Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal.
En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema.
Kurt Gödel
El primer teorema de la incompletitud de Gödel demuestra que cualquier sistema que permita definir los números naturales es necesariamente incompleto: contiene afirmaciones que ni se pueden demostrar ni refutar.
La existencia de un sistema incompleto no es en sí particularmente sorprendente. Por ejemplo, si se elimina el postulado del paralelismo de la geometría euclídea se obtiene un sistema incompleto. Un sistema incompleto puede significar simplemente que no se han descubierto todos los axiomas necesarios.
Lo que mostró Gödel es que en la mayoría de los casos, como en la teoría de números o en análisis real, nunca se puede descubrir el conjunto completo de axiomas. Cada vez que se añada un nuevo axioma siempre habrá otro que quede fuera de alcance.
Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo.
Kurt Gödel
Todo empezó en aquel capítulo de Benny Hill en el cual él a si misma se preguntaba
¿Es verdad q las mujeres cuando decís no queréis decir sí? Y se respondía con el (in)confundible NO :D
http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_del_mentiroso
Paradoja del mentiroso
La paradoja del mentiroso es en realidad un conjunto de paradojas relacionadas.[1] El ejemplo más simple de la misma surge al considerar la oración: «Esta oración es falsa». Dado el principio del tercero excluido (http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_del_tercero_excluido), dicha oración debe ser verdadera o falsa. Si suponemos que es verdadera, entonces todo lo que la oración afirma es el caso. Pero la oración afirma que ella misma es falsa, y eso contradice nuestra suposición original de que es verdadera. Supongamos, pues, que la oración es falsa. Luego, lo que afirma debe ser falso. Pero esto significa que es falso que ella misma sea falsa, lo cual vuelve a contradecir nuestra suposición anterior. De este modo, no es posible asignar un valor de verdad (http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_de_verdad) a la oración sin contradecirse.[1]
A través de los siglos, el interés por resolver esta paradoja y sus variantes ha impulsado una enorme cantidad de trabajo en semántica, lógica y filosofía en general.[2]
Comentario [editar]
Esta paradoja muestra que es posible construir oraciones perfectamente correctas según las reglas gramaticales y semánticas pero que pueden no tener un valor de verdad según la lógica tradicional.
Consideremos una de las formas más simples de esta paradoja: “Esta oración es falsa”:
* Si suponemos que esa afirmación es verdadera, entonces lo que dice es verdadero. Ya que la oración afirma que es falsa, entonces debe ser falsa. Por tanto, si suponemos que es verdadera, alcanzamos una contradicción.
* Si suponemos que la oración es falsa, entonces lo que afirma debe ser falso. Ya que afirma que la oración es falsa, entonces la oración debe ser verdadera. De nuevo, si suponemos que es falsa, alcanzamos una contradicción.
La primera versión conocida [editar]
La versión más antigua de la paradoja del mentiroso se atribuye al filósofo griego Eubulides de Mileto (http://es.wikipedia.org/wiki/Eubulides_de_Mileto), que vivió en el siglo IV a. C. Supuestamente Eubulides dijo:
Un hombre afirma que está mintiendo. ¿Lo que dice es verdadero o falso?
Una versión doble [editar]
Es posible construir esta paradoja de modo que una afirmación no se refiera directamente a su propio valor de verdad. Existen de este modo varias versiones equivalentes:
* La más simple: “La oración posterior es cierta” y “La oración anterior es falsa”.
* Una tarjeta, en una de cuyas caras aparece: “Lo que está escrito en la otra cara es cierto” y en la otra: “Lo que está escrito en la otra cara es falso”.
* Un libro, que en la página 23 tiene escrito “Lo que está escrito en la página 24 es cierto” y en la página 24: “Lo que está escrito en la página 23 es falso”.
En realidad se trata de una cuestión de autorreferencia (http://es.wikipedia.org/wiki/Autorreferencia). Ejemplo clásico es el del libro en cuya nota final afirma "todo lo escrito en este libro es falso". Lo cual deja abierta la posibilidad de que aquella última afirmación también lo sea, y en ese caso el resto sería verdadero o, por el contrario, si aquella afirmación fuera verdadera el resto del libro sería falso. Pero como la última afirmación se encuentra dentro del mismo libro la interpretación sobre el alcance de la misma deja a la veracidad del libro librada hacia el infinito. Así, sólo es posible salir del circuito de la autorreferencia tomando como punto de partida un punto de vista apartado del objeto que se valore.
* Paradoja de Epiménides: una paradoja que aparenta ser una versión de la paradoja del mentiroso, pero que realmente no lo es.
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Teoremas de incompletitud de Gödel
Kurt Gödel ([kuɹtˈgøːdl]) (28 de abril de 1906 Brno (Brünn), Imperio austrohúngaro (ahora República Checa) – 14 de enero de 1978 Princeton, New Jersey) fue un lógico, matemático y filósofo austriaco-estadounidense.
Reconocido como uno de los más importantes lógicos de todos los tiempos, el trabajo de Gödel ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Gödel, al igual que otros pensadores como Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática. A Gödel se le conoce mejor por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena.
El más célebre de sus teoremas de la incompletitud establece que para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (la aritmética de Peano), existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada ahora como numeración de Gödel, el cual codifica expresiones formales como números naturales.
También demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, si dichos axiomas son consistentes. Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal.
En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema.
Kurt Gödel
El primer teorema de la incompletitud de Gödel demuestra que cualquier sistema que permita definir los números naturales es necesariamente incompleto: contiene afirmaciones que ni se pueden demostrar ni refutar.
La existencia de un sistema incompleto no es en sí particularmente sorprendente. Por ejemplo, si se elimina el postulado del paralelismo de la geometría euclídea se obtiene un sistema incompleto. Un sistema incompleto puede significar simplemente que no se han descubierto todos los axiomas necesarios.
Lo que mostró Gödel es que en la mayoría de los casos, como en la teoría de números o en análisis real, nunca se puede descubrir el conjunto completo de axiomas. Cada vez que se añada un nuevo axioma siempre habrá otro que quede fuera de alcance.
Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo.
Kurt Gödel