Con la edad que tienes, creo que la única manera de que tus padres no se preocupen y te tomen en serio, es ver que la decisión que has tomado la has hecho de forma serena, decidida y racional. Que no se trata de un impulso propio de la adolescencia, ni un capricho, ni es una forma de llamar la atención. Explicarles, de forma sincera y respetuosa, por qué has tomado esa decisión.
Y en segundo lugar, pero no menos importante, hacerles ver que es algo totalmente seguro a cualquier edad, que te has informado, buscar los enlaces para enseñarles que no es peligroso ni perjudicial. E informarte mucho y muy bien, para ti mismo, y para poder explicarles a tus padres que se puede ser vegano y feliz.
Y ya para terminar, ofrecerte tú a preparar las comidas. Que a tus padres, ni a nadie, les vaya a suponer un trabajo extra o una molestia que tú comas algo diferente al resto. Eso puede ayudar a presentarlo como un acto de madurez, que te ayude a que te tomen en serio.