Hola.
Yo sólo te diré lo que yo haría si me viera en esa situación (entiendo que te marchas a vivir a otro país europeo y te quieres llevar a tu perro).
Yo me iría sin él y mientras lo dejaría con familia/amigos/residencia. Una vez encuentres alojamiento volvería a por él y haríamos el viaje en el mismo vuelo.
Dos vuelos, doble gasto (depende) pero más cómodo para ti y para tu perro. Así lo veo yo. Un saludo .