La Paradoja del mentiroso y los teoremas de la incompletitud

[Snickers]

yo esto de las mates lo veo tan grande y fascinante q me pierdo en su misticismo

Todo empezó en aquel capítulo de Benny Hill en el cual él a si misma se preguntaba
¿Es verdad q las mujeres cuando decís no queréis decir sí? Y se respondía con el (in)confundible NO


http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_del_mentiroso

Paradoja del mentiroso

La paradoja del mentiroso es en realidad un conjunto de paradojas relacionadas.[1] El ejemplo más simple de la misma surge al considerar la oración: «Esta oración es falsa». Dado el principio del tercero excluido, dicha oración debe ser verdadera o falsa. Si suponemos que es verdadera, entonces todo lo que la oración afirma es el caso. Pero la oración afirma que ella misma es falsa, y eso contradice nuestra suposición original de que es verdadera. Supongamos, pues, que la oración es falsa. Luego, lo que afirma debe ser falso. Pero esto significa que es falso que ella misma sea falsa, lo cual vuelve a contradecir nuestra suposición anterior. De este modo, no es posible asignar un valor de verdad a la oración sin contradecirse.[1]

A través de los siglos, el interés por resolver esta paradoja y sus variantes ha impulsado una enorme cantidad de trabajo en semántica, lógica y filosofía en general.[2]


Comentario [editar]

Esta paradoja muestra que es posible construir oraciones perfectamente correctas según las reglas gramaticales y semánticas pero que pueden no tener un valor de verdad según la lógica tradicional.

Consideremos una de las formas más simples de esta paradoja: “Esta oración es falsa”:

* Si suponemos que esa afirmación es verdadera, entonces lo que dice es verdadero. Ya que la oración afirma que es falsa, entonces debe ser falsa. Por tanto, si suponemos que es verdadera, alcanzamos una contradicción.
* Si suponemos que la oración es falsa, entonces lo que afirma debe ser falso. Ya que afirma que la oración es falsa, entonces la oración debe ser verdadera. De nuevo, si suponemos que es falsa, alcanzamos una contradicción.

La primera versión conocida [editar]

La versión más antigua de la paradoja del mentiroso se atribuye al filósofo griego Eubulides de Mileto, que vivió en el siglo IV a. C. Supuestamente Eubulides dijo:

Un hombre afirma que está mintiendo. ¿Lo que dice es verdadero o falso?

Una versión doble [editar]

Es posible construir esta paradoja de modo que una afirmación no se refiera directamente a su propio valor de verdad. Existen de este modo varias versiones equivalentes:

* La más simple: “La oración posterior es cierta” y “La oración anterior es falsa”.
* Una tarjeta, en una de cuyas caras aparece: “Lo que está escrito en la otra cara es cierto” y en la otra: “Lo que está escrito en la otra cara es falso”.
* Un libro, que en la página 23 tiene escrito “Lo que está escrito en la página 24 es cierto” y en la página 24: “Lo que está escrito en la página 23 es falso”.

En realidad se trata de una cuestión de autorreferencia. Ejemplo clásico es el del libro en cuya nota final afirma "todo lo escrito en este libro es falso". Lo cual deja abierta la posibilidad de que aquella última afirmación también lo sea, y en ese caso el resto sería verdadero o, por el contrario, si aquella afirmación fuera verdadera el resto del libro sería falso. Pero como la última afirmación se encuentra dentro del mismo libro la interpretación sobre el alcance de la misma deja a la veracidad del libro librada hacia el infinito. Así, sólo es posible salir del circuito de la autorreferencia tomando como punto de partida un punto de vista apartado del objeto que se valore.

* Paradoja de Epiménides: una paradoja que aparenta ser una versión de la paradoja del mentiroso, pero que realmente no lo es.

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Teoremas de incompletitud de Gödel

Kurt Gödel ([kuɹtˈgøːdl]) (28 de abril de 1906 Brno (Brünn), Imperio austrohúngaro (ahora República Checa) – 14 de enero de 1978 Princeton, New Jersey) fue un lógico, matemático y filósofo austriaco-estadounidense.

Reconocido como uno de los más importantes lógicos de todos los tiempos, el trabajo de Gödel ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Gödel, al igual que otros pensadores como Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática. A Gödel se le conoce mejor por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena.

El más célebre de sus teoremas de la incompletitud establece que para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (la aritmética de Peano), existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada ahora como numeración de Gödel, el cual codifica expresiones formales como números naturales.

También demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, si dichos axiomas son consistentes. Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal.


En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema.
Kurt Gödel

El primer teorema de la incompletitud de Gödel demuestra que cualquier sistema que permita definir los números naturales es necesariamente incompleto: contiene afirmaciones que ni se pueden demostrar ni refutar.

La existencia de un sistema incompleto no es en sí particularmente sorprendente. Por ejemplo, si se elimina el postulado del paralelismo de la geometría euclídea se obtiene un sistema incompleto. Un sistema incompleto puede significar simplemente que no se han descubierto todos los axiomas necesarios.

Lo que mostró Gödel es que en la mayoría de los casos, como en la teoría de números o en análisis real, nunca se puede descubrir el conjunto completo de axiomas. Cada vez que se añada un nuevo axioma siempre habrá otro que quede fuera de alcance.



Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo.

Kurt Gödel

[SoFine]

Gracias snickers.
Me interesa y me fascina, y leo todo lo que cae en mis manos.
Ahora venden una colección estupenda, de la cual he comprado el primer libro y seguramente me suscribiré.
Lo que sea por entender mejor el mundo matemático aplicado a toda nuestra vida.
Saludos.

[Kirin]

Os recomiendo el libro: "Alicia en el pais de las adivinanzas"

Está plagado de ejercicios de este tipo como: alguien robó las tartas, el sombrerero dice que no fue él, la liebre de mayo que fue el lirón y el lirón que fue el sombrerero. El ladrón miente y los otros dos no. (no se si está bien, es un ejemplo)

Es un libro que llevaba en el bolso, a ver si lo vuelvo a meter para darle a la cabeza XD al principio te pilla en bragas lo de darle vueltas a las cosas pero enseguida se pilla la dinámica de "si la liebre dice que el sombrerero lo robo y es mentira es que ha robado la tarta pero el lirón mentiría tambien y no puede ser.... blablabla"

Está bien para desentumecer la cabeza


Por cierto, alguien consiguió descubrir en la película de Dentro del Laberinto cual de las 2 puertas era la que llevaba al Castillo si os hubierais encontrado ahí delante y que guardían mentía? jajaja creo que es un clásico, en otra película tambien sale, pero lo arreglan lanzando al que dice el acertijo a una de las puertas (que resulta ser la mala XD)

[antavian]

lo que es interesante y practico, es de los psicoticos, confunden su verdad con la verdad, si su verdad es mentira les da igual, le enseñan a la realidada que sus mentiras o sea sus verdades, son la verdad y poco importa lo que diga la realidad.


Un amigo esquizoide, cuando se cree general del ejercito, va gritandole a todo el mundo por no saludarle....otra amiga, se siente medico y solo es enfermera y la monta en el hospital, como se cree cirujano, se mete en el quirofano a operar, le das la medicacion y se vuelve una enfermera normal.....curioso, no?

[Kirin]

El último caso más que curioso diría MUY peligroso, y si no lo controla se quedará sin trabajo si esque no sucede algo peor.

Los orcos de Warhammer 40k deben ser esquizoides porque su magia consiste en lo que creen, y como creen que el rojo "corre maz" pintan sus vehículos de rojo... y corren más.

[roxy]

Había otra frasecilla Con este mismo sentido... teóricamente, corta la libertad?
una persona dice a otra :haz lo que quieras. Si la otra persona hace lo que quiere, en realidad está haciendo lo que se le ha dicho, luego ya no actúa con libertad. Sin embargo, si no hace lo que quiere (pongamos que antes le había mandado hacer otra cosa) Está desobedeciendo la última orden y estaría obrando de manera distinta, pero como tampoco está haciendo lo que quiere, no actúa con libertad...
Qué sentido tiene entonces eso?